在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，若存在常数 $t$ ，使得 $a_{n+1}=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n+t\left(n \in N ^*\right)$ 恒成立，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$H(t)$ 数列＂．
（1）若 $c_n=1+\frac{1}{n}$ ，试判断数列 $\left\{c_n\right\}$ 是否为＂$H(t)$ 数列＂，请说明理由；
（2）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$H(t)$ 数列＂，且 $a_1=2$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，且 $\sum_{i=1}^n a_i^2=a_{n+1}+\log _2 b_n-t$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（3）若正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$H(t)$ 数列＂，且 $a_1>1, t>0$ ，证明： $\ln a_n < a_n-1$ ．