对于数列 $\left\{a_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ ，记 $\Delta a_n=$ $a_{n+1}-a_n$ ，称数列 $\left\{\Delta a_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一阶差分数列；记 $\Delta^2 a_n=\Delta\left(\Delta a_n\right)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n$ ，称数列 $\left\{\Delta^2 a_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的二阶差分数列，$\cdots$ ，一般地，对于 $k \in N$ ，记 $\Delta^{k+1} a_n=\Delta\left(\Delta^k a_n\right)=\Delta^k a_{n+1}-\Delta^k a_n$ ，规定：$\Delta^0 a_n=a_n, \Delta^1 a_n=$ $\Delta a_n$ ，称 $\left\{\Delta^k a_n\right\}$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的 $k$ 阶差分数列。对于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，如果 $\Delta^k a_n=d \neq 0$（ $d$ 为常数），则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $k$ 阶等差数列。
（1）数列 $\left\{n^2\right\}$ 是否为 $k$ 阶等差数列，如果是，求 $k$ 值，如果不是，请说明为什么？
（2）请用 $a_1, \Delta a_1, \Delta^2 a_1, \Delta^3 a_1, \cdots$ 表示 $a_3, a_4$ ，并归纳出表示 $a_n$ 的正确结论（不要求证明）；
（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $k$ 阶等差数列，则其前 $n$ 项和为 $S_n=C_n^1 a_1+C_n^2 \Delta a_1+C_n^3$ $\Delta^2 a_1+\cdots+C_n^{k+1} \Delta^k a_1$ ；
（4）某同学用大小一样的球堆积了一个＂正三棱锥＂，巧合用了 2024 个球。第 1 层有 1 个球，第 2 层有 3 个，第 3 层有 6 个球，$\cdots$ ，每层都摆放成＂正三角形＂，从第 2 层起，每层＂正三角形＂的＂边＂都比上一层的＂边＂多 1 个球，问：这位同学共堆积了多少层？