在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在 $R S A$ 加密算法中的应用。设 $p, q$ 是两个正整数，若 $p, q$ 的最大公约数是 1 ，则称 $p, q$ 互素．对于任意正整数 $n$ ，欧拉函数是不超过 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数的个数，记为 $\varphi(n)$ ．
（1）试求 $\varphi(3), \varphi(9), \varphi(7), \varphi(21)$ 的值；
（2）设 $n$ 是一个正整数，$p, q$ 是两个不同的素数．试求 $\varphi\left(3^n\right), \varphi(p q)$ 与 $\varphi(p)$ 和 $\varphi(q)$ 的关系；
（3）$R S A$ 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
① 准备两个不同的，足够大的素数 $p, q$ ；
② 计算 $n=p q$ ，欧拉函数 $\varphi(n)$ ；
③ 求正整数 $k$ ，使得 $k q$ 除以 $\varphi(n)$ 的余数是 1 ；
④其中 $(n, q)$ 称为公钥，$(n, k)$ 称为私钥．
已知计算机工程师在某 $R S A$ 加密算法中公布的公钥是 $(187,17)$ 。若满足题意的正整数 $k$ 从小到大排列得到一列数记为数列 $\left\{b_n\right\}$ ，数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $80 c_n=b_n+47$ ，求数列 $\left\{\tan c_n \cdot \tan c_{n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．