＂绿色出行，低碳环保＂的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚。甲，乙，丙三人为响应＂绿色出行，低碳环保＂号召，他们计划每天选择＂共享单车＂或＂地铁＂两种出行方式中的一种。他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{2}{3}$ ，丙在每月第一天选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{3}{4}$ ，从第二天起，若前一天选择＂共享单车＂，后一天继续选择＂共享单车＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，若前一天选择＂地铁＂，后一天继续选择＂地铁＂的概率为 $\frac{1}{3}$ ，如此往复．
（1）若 3 月 1 日有两人选择＂共享单车＂出行，求丙选择＂共享单车＂的概率；
（2）记甲，乙，丙三人中 3 月 1 日选择＂共享单车＂出行的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；
（3）求丙在 3 月份第 $n(n=1,2, \cdots, 31)$ 天选择＂共享单车＂的概率 $P_n$ ，并帮丙确定在 3 月份中选择＂共享单车＂的概率大于＂地铁＂的概率的天数．