第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10月 8 日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛。已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得 1 分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得 1分，且成为下一回合发球方。现甲，乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲，乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙得分的概率为 $\frac{2}{5}$ ；若乙发球，乙得分的概率为 $\frac{4}{5}$ ，甲得分的概率为 $\frac{1}{5}$ ．规定第 1 回合是甲先发球。
（1）求第 3 回合由甲发球的概率；
（2） ① 设第 i 回合是甲发球的概率为 $p_i$ ，证明：$\left\{p_i-\frac{1}{3}\right\}$ 是等比数列；
② 已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i, i =1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=$ $\sum_{i=1}^n q_i$ ．若第 1 回合是甲先发球，求甲，乙连续进行 $n$ 个回合比赛后，甲的总得分的期望．