甲 乙丙三人进行传球游戏，每次投郑一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于 3 ，则甲将球传给乙，若点数不大于 3 ，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于 4 ，则乙将球传给甲，若点数不大于 4 ，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于 3 ，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于 3 ，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中。
（1）设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；
（2）投掷 $n$ 次骰子后 $\left(n \in N ^*\right)$ ，记球在乙手中的概率为 $p_n$ ，求数列 $\left\{p_n\right\}$ 的通项公式；
（3）设 $d_n=\frac{2}{\left|3 p_n-1\right|}-2$ ，求证：$\frac{n}{2}-\frac{1}{3} < \frac{d_1}{d_2}+\frac{d_2}{d_3}+\cdots+\frac{d_n}{d_{n+1}} < \frac{n}{2}\left(n \in N^*\right)$ ．