已知 $n$ 为正整数，数列 $X: x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，记 $S(X)=x_1+x_2+\cdots+x_n$ ．对于数列 $X$ ，总有 $x_k \in\{0,1\}, k=1,2, \cdots, n$ ，则称数列 $X$ 为 $n$ 项 0 $\sim 1$ 数列．若数列 $A: a_1, a_2, \cdots, a_n, B: b_1, b_2, \cdots, b_n$ ，均为 $n$ 项 $0 \sim 1$ 数列，定义数列 $A \otimes B: m_1, m_2, \cdots, m_n$ ，其中 $m_k=$ $1-\left|a_k-b_k\right|, k=1,2, \cdots, n$ ．
（1）已知数列 $A: 1,1,1,0, B: 0,0,1,1$ ，求 $\frac{S(A \otimes A)}{S(A \otimes B)}$ 的值；
（2）若数列 $A, B$ 均为 $n$ 项 $0 \sim 1$ 数列，求证：$S((A \otimes B) \otimes A)=S(B)$ ；
（3）对于任意给定的正整数 $n$ ，是否存在 $n$ 项 $0 \sim 1$ 数列 $A, B, C$ ，使得 $S(A \otimes B)+S(A \otimes C)+S(B \otimes C)=$ $2 n$ ，并说明理由．