已知圆 $O: x^2+y^2=1$ 和点 $M(1, \sqrt{3})$ ．
（1）过点 $M$ 作圆 $O$ 的切线，求切线的方程；
（2）已知 $A(2,4)$ ，设 $P$ 为满足方程 $|P A|^2+|P O|^2=34$ 的任意一点，过点 $P$ 向圆 $O$ 引切线，切点为 $B$ ，试探究：平面内是否存在一定点 $N$ ，使得 $\frac{|P B|^2}{|P N|^2}$ 为定值？若存在，则求出定点 $N$ 的坐标，并指出相应的定值：若不存在，则说明理由；
（3）过点 $M$ 作直线 $l$ 交圆 $O$ 于两个不同的点 $C, D$（ 线段 $C D$ 不经过圆心 $O$ ），分别在点 $C, D$ 处作圆 $O$ 的切线，两条切线交于点 $E$ ，求证：点 $E$ 在一条定直线上，并求出该直线的方程．