单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{1,2,3,4,5\}, B=\left\{x \left\lvert\, \frac{x-1}{2} \in Z \right.\right\}$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{5\}$
$\text{B.}$ $\{3,5\}$
$\text{C.}$ $\{1,3,5\}$
$\text{D.}$ $\{2,4\}$
已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(-2, x)$ ，若 $\vec{a} \perp(\vec{a}+\vec{b})$ ，则 $|\vec{b}|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$
底面积是 $\pi$ ，侧面积是 $3 \pi$ 的圆锥的体积是
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2} \pi$
$\text{B.}$ $\sqrt{2} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{2} \pi}{3}$
某电视台举行主持人大赛，每场比赛都有 17 位专业评审进行现场评分，首先这 17 位评审给出某位选手的原始分数，评定该位选手的成绩时从 17 个原始成绩中去掉一个最高分，一个最低分，得到 15 个有效评分，则 15 个有效评分与 17 个原始评分相比，在数字特征＂（1）中位数（2）平均数（3）方差（4）极差＂中，可
能变化的有
$\text{A.}$ 4 个
$\text{B.}$ 3 个
$\text{C.}$ 2 个
$\text{D.}$ 1 个
已知点 $A(0,1), B(2 \sqrt{3}, 1)$ ，动点 $P$ 满足 $\angle A P B=120^{\circ}$ ，若点 $P$ 的轨迹与直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x+b$ 有两个公共点，则 $b$ 的值可以是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}+1$
$\text{B.}$ $-\frac{4}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{6}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{3}}{3}-1$
若正六棱锥 $P-A B C D E F$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$ ，则 $P A$ 的最小值为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $3 \sqrt{2}$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左，右焦点分别为 $F_1, F_2, P$ 是双曲线 $C$ 上位于第一象限的一点，且 $\angle F_1 P F_2=90^{\circ}$ ，设 $O$ 为坐标原点，$N$ 为 $P F_2$ 的中点，$\angle F_1 P F_2$ 的角平分线交线段 $O N$ 于点 $M$ ，若 $|O M|=|M N|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)= A \sin (\omega x+\varphi)\left( A >0, \omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象如图所示，图象与 $x$ 轴的交点为 $M\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ ，与 $x$ 轴的交点为 $N$ ，最高点 $P(1, A)$ ，且满足 $N M \perp N P$ ，若将 $f(x)$ 的图象向左平移 1 个单位得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (2024)=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{10}}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{10}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知 $m, n$ 是两条不相同的直线，$\alpha, \beta$ 是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是
$\text{A.}$ 若 $m, n$ 是异面直线，$m \subset \alpha, m / / \beta, n \subset \beta, n / / \alpha$ ，则 $\alpha / / \beta$
$\text{B.}$ 若 $m \perp n, m \perp \beta$ ，则 $n / / \beta$
$\text{C.}$ 若 $n / / \alpha, n \perp \beta$ ，则 $\alpha \perp \beta$
$\text{D.}$ 若 $m \perp \alpha, n / / \beta, \alpha / / \beta$ ，则 $m \perp n$
已知函数 $f(x)=\sin \omega x-\sqrt{3} \cos \omega x(\omega>0)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上恰有 3 个零点，则
$\text{A.}$ $\frac{7}{6} \leq \omega \leq \frac{5}{3}$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $\left[\frac{5 \pi}{7}, \frac{11 \pi}{10}\right]$ 上单调递减
$\text{C.}$ 函数 $g(x)=f(x)-\sqrt{2}$ 在 $\left[\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right]$ 上最多有 3 个零点
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right]$ 上恰有 2 个极值点
已 知 定义在 $R$ 上的函数 $f(x), g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x), g^{\prime}(x)$ ，且 $f(x)=f(4-x)$ ， $f(1+x)-g(x)=4, f^{\prime}(x)+g^{\prime}(1+x)=0$ ，则
$\text{A.}$ $g(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称
$\text{B.}$ $g^{\prime}(3)=1$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)$ 的周期为 4
$\text{D.}$ $f^{\prime}(n) \cdot g^{\prime}(n)=0(n \in Z )$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}^2=a_n a_{n+2}$ ，若 $a_1=\frac{1}{2}, a_4=4$ ，则 $S_4=$
$(x+3 \sqrt{x}+2)^4$ 的展开式中，含 $x$ 的项的系数为
已知抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F(2,0)$ ，过点 $C(-2,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点，且 $x_A>x_B$ ，若 $B F$ 为 $\triangle A F C$ 的角平分线，则直线 $l$ 的斜率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, b \sin 2 C=c \sin B, V A B C$ 的外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，
（1）求角 $C$ ：
（2）若 $\triangle A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，$M$ 是 $P A$ 的中点，$N$ 是 $B C$ 的中点，$P D \perp$ 平面 $A B C D$ ，且 $P D=C D=4, A D=2$ ．
（1）求证：$M N / /$ 平面 $P C D$ ；
（2）求 $A P$ 与平面 $C M B$ 所成角的正弦值；
（3）求二面角 $M-C B-P$ 的余弦值．
已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=\frac{ e ^x(a x-1)}{x-1}$ ．
（1）若 $a=2$ ，求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上不单调，求 $a$ 的取值范围．
已知圆 $O: x^2+y^2=1$ 和点 $M(1, \sqrt{3})$ ．
（1）过点 $M$ 作圆 $O$ 的切线，求切线的方程；
（2）已知 $A(2,4)$ ，设 $P$ 为满足方程 $|P A|^2+|P O|^2=34$ 的任意一点，过点 $P$ 向圆 $O$ 引切线，切点为 $B$ ，试探究：平面内是否存在一定点 $N$ ，使得 $\frac{|P B|^2}{|P N|^2}$ 为定值？若存在，则求出定点 $N$ 的坐标，并指出相应的定值：若不存在，则说明理由；
（3）过点 $M$ 作直线 $l$ 交圆 $O$ 于两个不同的点 $C, D$（ 线段 $C D$ 不经过圆心 $O$ ），分别在点 $C, D$ 处作圆 $O$ 的切线，两条切线交于点 $E$ ，求证：点 $E$ 在一条定直线上，并求出该直线的方程．
一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了 $n$ 次．
（1）已知质点每次向右移动的概率为 $p(0 < p < 1)$ ．
① 当 $p=\frac{1}{2}, n=6$ 时，求质点最终回到原点的樫率；
② 规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续，直到移动了 $n$ 次，分别求出当 $n=3$ 和 $n=5$ 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小
（2）现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 $p_1$ ，共移动了 3 次，若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为 0 分．若最终落在了原点右侧，则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 $p_2$ ，并再次移动了 3 次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为 0 分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数．
① 请用含 $p_1, p_2$ 的式子表示该游戏得分的数学期望；
② 若 $p_1+p_2=1$ ，则当 $p_1$ 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？