一游戏规则如下：一个质点在数轴上运动，从原点出发，每次向左或者向右移动一个单位，共移动了 $n$ 次．
（1）已知质点每次向右移动的概率为 $p(0 < p < 1)$ ．
① 当 $p=\frac{1}{2}, n=6$ 时，求质点最终回到原点的樫率；
② 规定质点在运动过程中，只要出现在原点左侧，游戏就结束，否则游戏就继续，直到移动了 $n$ 次，分别求出当 $n=3$ 和 $n=5$ 时质点最终落在原点右侧的概率并比较它们的大小
（2）现在规定游戏分为两个阶段：第一阶段，质点每次向右移动的概率为 $p_1$ ，共移动了 3 次，若质点最终落在了原点左侧，则结束游戏，且最终得分为 0 分．若最终落在了原点右侧，则通过第一阶段，并进入第二阶段：质点重新回到原点，每次向右移动的概率为 $p_2$ ，并再次移动了 3 次，若质点最终落在了原点左侧，则最终得分也为 0 分；若最终落在了原点右侧，则最终得分为质点位于数轴上所在位置对应的实数．
① 请用含 $p_1, p_2$ 的式子表示该游戏得分的数学期望；
② 若 $p_1+p_2=1$ ，则当 $p_1$ 取何值的时候，该游戏得分的期望值最大？