设函数 $f(x)=\frac{|t-x|}{x}(x \in[a, b])$ ，其中 $t$ 为参数，$a>0$ ，对任意 $t \in[a, b]$ ，记 $M(t)$ 为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最大值．
（1）求闭区间 $[a, b]$ 上的函数 $M(t)$ ；
（2）证明：$M(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上取得最小值的点 $t$ 处满足 $\frac{1}{t}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$.