单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)= \begin{cases}\frac{\sin a x}{\sqrt{1-\cos x}}, & x < 0, \\ b, & x=0, \text { 在点 } \\ \frac{1}{x}\left[\ln x-\ln \left(x+x^2\right)\right], & x>0,\end{cases}$ $x=0$ 处连续，则常数 $a, b$ 分别为（ ）
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=\frac{-1}{\sqrt{2}}, b=-1$
$\text{C.}$ $a=\frac{-1}{\sqrt{2}}, b=1$
$\text{D.}$ 以上结论都不对
设常数 $a>1 / 2$ ，在区间 $(0,+\infty)$ 内，方程 $\ln x-a x=0$
的实根的个数是
$\text{A.}$ 0 个
$\text{B.}$ 1 个
$\text{C.}$ 2 个
$\text{D.}$ 3 个
设 $f(x)$ 在以下涉及的区间上可导，则以下结论：
（1）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界
（2）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有界
（3）若 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上无界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上无界
（4）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上无界，则 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上无界
成立的结论有（ ）
$\text{A.}$ 0 个
$\text{B.}$ 1 个
$\text{C.}$ 2 个
$\text{D.}$ 3 个
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 的某一邻域内有连续偏导数，且满足 $f\left(x, x^3\right)=c$（这里 $c$ 为一常数），若 $f_y^{\prime}(1,1)=-1$ ，则 $f_x^{\prime}(1,1)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ -3
令 $I_1=\iint_D x e^{x^2+y^2} d x d y$ ，
$$
I_2=\iint_D x^2 e^{x^2+y^2} d x d y, \quad I_3=\iint_D x^3 e^{x^2+y^2} d x d y
$$
其中 $D: x^2+y^2 \leq a^2$ ，则
$\text{A.}$ $I_1=I_2$
$\text{B.}$ $I_2=I_3$
$\text{C.}$ $I_1=I_3$
$\text{D.}$ $I_1 \neq I_2, I_2 \neq I_3, I_1 \neq I_3$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left(\int_0^x e ^{t^2} d t\right)^2}{\int_0^x t e ^{2 t^2} d t}=$
设 $f^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^4}, y=f\left( e ^{2 x}\right)$ ，则 $y^{\prime}(0)=$
设 $x=\int_0^y \frac{d t}{\sqrt{1+4 t^2}}$ ，则 $\frac{ d ^3 y}{d x^3}-4 \frac{d y}{d x}=$
设 $f^{\prime}(x)=\arctan (x-1)^2, f(0)=0$ ，则
$$
\int_0^1 f(x) d x=
$$
设 $l$ 为圆周 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=a^2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，则第一型曲线积分
$$
I=\int_l(x+y)^2 d s=
$$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有二阶导数，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-\ln (1+x)}{x^3}=\frac{1}{3}
$$
求 $f(0), f^{\prime}(0)$ 及 $f^{\prime \prime}(0)$ ．
设函数 $y=\left( e ^x-1\right)^2+8\left( e ^{-x}-1\right)$ ．
（1）求此函数的增减区间和最值；（2）求此函数的凹凸区间．
设 $l$ 是曲线 $y=\ln x$ 上过原点的切线．
（1）求由切线 $l, x$ 轴及曲线 $y=\ln x$ 围成的区域 $D$ 的面积；
（2）求由区域 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所得的旋转体的体积．
设 $f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，计算 $\int f(x) d x$ ．
设曲面 $S:(x-y)^2-z^2=1$ ．
（1）求曲面 $S$ 在点 $M(1,0,0)$ 处的切平面 $\pi$ 的方程；
（2）证明：原点到曲面 $S$ 上的点的距离的最小值等于原点到平面 $\pi$ 的距离．
证明不等式：
$$
x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geq 1+\frac{x^2}{2},-1 < x < 1
$$
求曲面 $z=x y$ 与平面 $x+y+z=1, z=0$ 所围区域的立体 $\Omega$ 的体积 $V$ ．
计算逐次积分
$$
I=\int_0^1 x^3 d x \int_{x^2}^1 d y \int_0^y \frac{\sin z}{1+z+z^2} d z
$$
设函数 $f(x)=\frac{|t-x|}{x}(x \in[a, b])$ ，其中 $t$ 为参数，$a>0$ ，对任意 $t \in[a, b]$ ，记 $M(t)$ 为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最大值．
（1）求闭区间 $[a, b]$ 上的函数 $M(t)$ ；
（2）证明：$M(t)$ 在区间 $[a, b]$ 上取得最小值的点 $t$ 处满足 $\frac{1}{t}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$.
计算曲面积分
$$
I=\oint_{\Sigma} \frac{2}{x \cos ^2 x} d y d z+\frac{1}{\cos ^2 y} d z d x-\frac{1}{zcos^2 z} d x d y
$$
其中曲面 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧．