如图，椭圆 $\Gamma_1: \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m>n>0), \Gamma_2: \frac{x^2}{n}+\frac{y^2}{m}=1$ ，已知 $\Gamma_1$ 右顶点为 $H(2,0)$ ，且它们的交点分别为 $P_1(1,1), P_2(-1,1), P_3(-1,-1), P_4(1,-1)$ ．
（1）求 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$ 的标准方程；
（2）过点 $P_1$ 作直线 $M N$ ，交 $\Gamma_1$ 于点 $M$ ，交 $\Gamma_2$ 于点 $N$ ，设直线 $P_3 M$ 的斜率为 $k_1$ ，直线 $P_3 N$ 的斜率为 $k_2$ ，求 $\frac{k_2}{k_1}$ ；（上述各点均不重合）
（3）点 $Q_1$ 是 $\Gamma_1$ 上的动点，直线 $Q_1 P_1$ 交 $\Gamma_2$ 于点 $Q_2$ ，直线 $Q_2 P_2$ 交 $\Gamma_1$ 于点 $Q_3$ ，直线 $Q_3 P_3$ 交 $\Gamma_2$ 于点 $Q_4$ ，直线 $Q_4 P_4$ 与直线 $Q_1 P_1$ 交于点 $N$ ，求点 $G$ 坐标，使直线 $N G$ 与直线 $N H$的斜率之积为定值．（上述各点均不重合）