柯西不等式（Cauchy－SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geqslant(a c+b d)^2$ ，当且仅当 $a d=b c$ 时等号成立．已知 $a>0, b>0$ ，直线 $y=x-2 a$ 与曲线 $y=\ln (x+b)$ 相切，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$的最小值为