椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的＂特征三角形＂．记椭圆 $C_1$ 的＂特征三角形＂为 $\triangle_1$ ，椭圆 $C_2$ 的＂特征三角形＂为 $\triangle_2$ ，若 $\triangle_1 \backsim \triangle_2$ ，则称椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相似，并将 $\triangle_1$ 与 $\triangle_2$ 的相似比称为椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的相似比．已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 与椭圆 $C_2: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 相似，且 $C_1$ 与 $C_2$ 的相似比为 2 ．
（1）求 $C_2$ 的方程；
（2）已知点 $F$ 是 $C_2$ 的右焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_1$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $l$ 与 $C_2$ 交于 $D, E$ 两点，其中点 $D$ 在 $x$ 轴上方．
（i）求证：$|A D|=|B E|$ ；
（ii）若过点 $F$ 与直线 $l$ 垂直的直线交 $C_2$ 于 $G, H$ 两点，其中点 $G$ 在 $x$ 轴上方，$M, N$ 分别为 $D E$ ， $G H$ 的中点，设 $P$ 为直线 $G D$ 与直线 $E H$ 的交点，求 $\triangle P M N$ 面积的最小值．