在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 绕着 $y$ 轴旋转一周构成双曲面 $D$ ，其中 $C$ 在旋转过程中的所有实轴落在 $x O z$ 平面内，设 $x O z$ 所在的平面为 $\alpha$ ，平面 $\beta$满足 $\alpha / / \beta$ ，且 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的距离为 $\sqrt{3} b$ ．
（1）若点 $P(x, z, y)$ 在 $D$ 上，试用含 $x, z, y$ 的方程表示 $D$（不用说明理由）．
（2）设 $T_\alpha, T_\beta$ 分别是 $\alpha, \beta$ 截得 $D$ 的截面．
（i）设 $l_\alpha, l_\beta$ 分别为 $T_\alpha, T_\beta$ 上的弦，求 $l_\alpha, l_\beta$ 所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面 $T_\beta$ 的圆周上的点 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 恰好构成正 $n$ 边形的顶点，$P$ 为 $D$ 上一动点，若对任意 $a>b>0, \lambda\left|\sum_{i=1}^n \overrightarrow{P A_i}\right| \geqslant n \sqrt{a^2-b^2}$ 恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围．