$f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,-\pi < \varphi < \pi)$ ，在 $\left[-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$ 上单调递增，且 $x=\frac{\pi}{12}$ 为它的一条对称轴，$\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 是它的一个对称中心，当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x)$ 的最小值为
A
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B
$-\frac{1}{2}$
C
-1
D
0
E
F