设可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，且对 $x \geq 1$ 时，有 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 。
（ I ）证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限；
（II）证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ 。
附加题（本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判 $A +$ ）
设 $f \in C[0,1], ~ g$ 为非负的周期函数，周期为 1 ，且 $g \in R[0,1]$ ，求证：

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f(x) g(n x) d x=\left(\int_0^1 f(x) d x\right)\left(\int_0^1 g(x) d x\right) .
$$