填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$y=x \ln \left( e +\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)=$
记 $F(x)=\int_0^{x^2} \cos \left(\pi t^2\right) d t$ ，则 $F^{\prime}(1)=$
设 $f(x)=\min \left\{x^2, 1\right\}$ ，则 $\int_0^2 f(x) d x=$
常微分方程 $y^{\prime}+2 x y=2 x$ 的通解为。
$\int_0^{+\infty} \frac{ d x}{ e ^{ x }+1}=$
常微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0(x>0)$ 的通解为
设 $p>0$ ，广义积分 ${ }^{+} \int_1^{+\infty} x^2 \ln \left(1+\sin \frac{1}{x^p}\right) d x$ 收敛，则实数 $p$ 的取值范围是。
由曲线段 $y=\sqrt{x-\frac{1}{4}}, ~ x \in[1,4]$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转面的面积为。
设连续函数 $f(x)$ 满足 $2 \int_1^x f(t) d t=x f(x)+x^2$ ，则 $f^{\prime}(1)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求积分 $\int_0^{ e } \cos (\ln x) d x$ 的值。
求常微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y= e ^x$ 的通解。
求函数 $y=4 e ^{-x}\left(2 x^2+x+1\right)-5$ 的单调区间，极值，上凸区间与下凸区间，以及拐点的横坐标。
设 $D$ 为 $y=\sqrt{x(1-x)}$ 与 $x$ 轴围成的有界区域。
（I）求 $D$ 的面积；
（II）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体体积
设平面曲线 $y=y(x)$ 满足 $y(0)=1, ~ y^{\prime}(0)=0$ ，且对曲线上任意点 $P(x, y)$（ $x>0)$ ，沿曲线从点 $(0,1)$ 到点 $P(x, y)$ 的弧长等于该曲线在点 $P(x, y)$ 的切线斜率，求 $y(x)$ （ $x>0$ ）
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是 $R$ 上以 $T$ 为周期的周期函数，且连续，证明：
（I）函数 $F(x)=\int_0^x f(t) d t-\frac{x}{T} \int_0^T f(t) d t$ 是以 $T$ 为周期的周期函数；
（II） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t=\frac{1}{T} \int_0^T f(t) d t$ 。
设可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，且对 $x \geq 1$ 时，有 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 。
（ I ）证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限；
（II）证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ 。
附加题（本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判 $A +$ ）
设 $f \in C[0,1], ~ g$ 为非负的周期函数，周期为 1 ，且 $g \in R[0,1]$ ，求证：
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f(x) g(n x) d x=\left(\int_0^1 f(x) d x\right)\left(\int_0^1 g(x) d x\right) .
$$