设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续的二阶导数，满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$ ，且 $\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leqslant 1$ ；
（II）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．