单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\ln t, \\ y=\frac{t-t^3}{\sin \pi t}\end{array}\right.$ 确定，则 $f(x)$ 有 $(\quad)$ 个可去间断点．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\int_0^1 e ^{x^2 t^2} d t, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{\left[\frac{1}{x}\right]}+ e ^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处（
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
（3）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且以 $T$ 为周期，则下列函数中，不一定以 $T$ 为周期的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left[f\left(\frac{t}{2}\right)-f(t)\right] d t$
$\text{B.}$ $\int_0^x[f(t)-f(2 t)] d t$
$\text{C.}$ $\int_0^x[f(2 t)-f(3 t)] d t$
$\text{D.}$ $\int_0^x f(2 t) d t-\frac{x}{T} \int_0^T f(t) d t$
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 无界，$\left\{y_n\right\}$ 收敛，则下列说法正确的有（ ）个
（1）数列 $\left\{ e ^{x_n}+y_n\right\}$ 必定无界；
（2）数列 $\left\{x_n+ e ^{y_n}\right\}$ 必定无界；
（3）数列 $\left\{\int_{y_n}^{x_n} \frac{d x}{\sqrt[4]{1+x^4}}\right\}$ 必定无界
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\sin x \cdot \ln \left(1+x^2\right)$ ，则 $f^{(5)}(0)=(\quad)$
$\text{A.}$ 80
$\text{B.}$ -80
$\text{C.}$ 50
$\text{D.}$ -50
设 $f(x)$ 为连续函数，则 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{\sec \theta} f\left(r^2\right) 2 r d r=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{1-x}^x f\left(x^2+y^2\right) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_{1-x}^1 f\left(x^2+y^2\right) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} d y \int_{1-y}^1 f\left(x^2+y^2\right) d x+\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_y^1 f\left(x^2+y^2\right) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_x^1 f\left(x^2+y^2\right) d y$
下列反常积分发散的是（ ）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{1+x}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^{\frac{3}{2}} \ln (1+x)} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x^2}{x^2 \ln x} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\left( e ^{-x}-1\right) \ln (1+\sqrt{x})}{x^2} d x$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则下列选项中不是矩阵 $A + E$ 可逆的充分条件的是（ ）
$\text{A.}$ 存在矩阵 $P$ ，使得 $A = P ^{ T } P$
$\text{B.}$ 矩阵 $A$ 满足方程 $A ^3- A ^2-4 A +4 E = O$
$\text{C.}$ $A \alpha _1= \alpha _2, A \alpha _2= \alpha _3, \cdots, A \alpha _{n-1}= \alpha _n, A \alpha _n= \alpha _1$ ，其中 $\alpha _1, \cdots, \alpha _n$ 为线性无关的 $n$ 维列向量组
$\text{D.}$ $r( A )=1$ 且 $A$ 的各行元素之和均为 1
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $A ^{ T }$ 为 $A$ 的转置矩阵，则下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\left( A ^*\right)^*= A$ 的充分条件是 $A$ 为 2 阶矩阵
$\text{B.}$ $A ( A - E )= O$ 的必要条件是 $A$ 可相似对角化
$\text{C.}$ $B$ 为 $A$ 的伴随矩阵的充要条件是 $A B =| A | E$
$\text{D.}$ 若 $A ^*= A ^{ T }$ ，且 $n>2$ ，则 $A$ 为正交矩阵
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则下列命题中是矩阵 $A$ 不可相似对角化的充分条件的有（ ）个
（1）$r( A )>n-\lim _{\lambda \rightarrow 0} \frac{\ln |f(\lambda)|}{\ln |\lambda|}$（其中 $f(\lambda)=|\lambda E - A |$ ）；
（2）$r\left( A ^3\right) < r\left( A ^2\right)$ ；
（3） $A \neq E$ ，且有 $A ^2+ E =2 A$ ；
（4）$r[ A ( A -2 E )]>r\left[ A ^2( A -2 E )\right]$ ．
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知曲线 $L: y=\frac{1}{2} x^2, x \geqslant 0$ ，原点为 $O(0,0)$ ．设 $P$ 是 $L$ 上的动点，$s$ 是点 $O$ 与点 $P$ 之间曲线 $L$ 的弧长，$V$ 是直线 $O P$ 与曲线 $L$ 所围成的平面区域绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积，若 $s$ 关于时间 $t$ 变化的速率恒为 1 ，则当动点 $P$ 运动到点 $(2,2)$ 时，$V$ 关于时间 $t$ 变化的速率为
设函数 $g(x)$ 二阶可导且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^x g(x)-x}{x^2}=2, y=y(x)$ 由方程 $x y+y^3+ e ^x g(x)=1$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
函数 $f(x, y)=x^3-x^2 y^2+y^3$ 有 $\qquad$个极值点．
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y-x}{x+y+2}$ 的通解为
设函数 $f(x)=\int_0^x \sqrt{\frac{3+t^2}{1-t^4}} d t$ ，则 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{\sin x}) \sin x d x=$
设3维列向量组 $\alpha , \beta , \gamma$ 为一个正交单位向量组，矩阵 $A =( \alpha - \beta ) \gamma ^{ T }+( \beta - \gamma ) \alpha ^{ T }+( \gamma - \alpha ) \beta ^{ T }$ ，则 $A ^* x = 0$ 的一组基础解系为 $\qquad$ ．（用 $\alpha , \beta , \gamma$ 表示）
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $D=\left\{(x, y) \mid x y \leqslant x^3+y^3 \leqslant 2 x y, x>0, y>0\right\}$ ，求二重积分 $\iint_D \frac{(2 x+1)^2-(y+2)^2}{x^2+y^2} d x d y$ ．
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $x^2 y^{\prime}+y=\left(1-x^3\right) e ^{-\frac{x^2}{2}}$ 满足 $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=0$ 的解．
（ I ）求 $y(x)$ ；
（II）设 $I_a$ 是曲线 $y=y(x)$ 在点 $(a, y(a))$ 处的法线在 $y$ 轴上的截距，证明：当 $a \neq 0$ 时，恒有 $I_a < -a^2-\frac{a^6}{24}$ ．
设 $D_n$ 是 $f(x)=\arcsin (\sin x) \cdot e ^{-x}(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 与 $x$ 轴所围成的图形，
（I）求 $D_n$ 的面积 $S_n$ ，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$ ；
（ II ）设 $D_n$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体体积为 $V_n$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} V_n$ 存在．
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，$z=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ 满足 $y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}-\frac{y^2}{x} \frac{\partial z}{\partial x}+$ $\frac{x^2}{y} \frac{\partial z}{\partial y}=4 y^2$,
（I）求 $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$ ；
（II）若 $\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{(u, u)}=\ln |2 u|-u, f(v, v)=2 v \ln |2 v|-v-\frac{v^2}{2}$ ，求 $f(1,1)$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续的二阶导数，满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$ ，且 $\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leqslant 1$ ；
（II）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+2 x_2^2+2 x_3^2+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+8 x_2 x_3$ 通过正交变换 $x = Q y$ 化为了 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=(b+c) y_1^2+2 b y_2^2+(b+c) y_3^2+2(b-c) y_1 y_3$ ，
（I）求 $a, b, c$ ；
（II）求正交矩阵 $Q$ ．