已知函数 $f(x), g(x)$ ，若 $\exists x_1, x_2, \cdots, x_k\left(k \in N ^*\right)$ ，使得 $f\left(x_i\right)=g\left(x_i\right)(i=1,2, \cdots, k)$ ，且 $f^{\prime}\left(x_i\right)=$ $g^{\prime}\left(x_i\right)$ ，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是＂$k-A$ 类和谐函数＂；若 $\exists x_1, x_2, \cdots, x_k\left(k \in N ^*\right)$ ，使得 $f\left(x_i\right)=g\left(x_i\right)$ $(i=1,2, \cdots, k)$ ，且 $f^{\prime}\left(x_i\right) \neq g^{\prime}\left(x_i\right)$ ，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是＂$k-B$ 类和谐函数＂．
（1）若 $f(x)=a \ln x$ 与 $g(x)=x^2$ 是＂ $1-A$ 类和谐函数＂，求 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象在公共点处的切线方程；
（2）若 $f(x)=x^3+a x^2+1$ 与 $g(x)=x^3+x+\frac{3}{4} a$ 是＂$k-A$ 类和谐函数＂，求 $k$ 与 $a$ 的值；
（3）求证：$f(x)=\sin x$ 与 $g(x)=\ln x$ 是＂ $1-B$ 类和谐函数＂．