设函数 $u=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), f$ 二阶可导，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D \frac{1}{1+s^2+t^2} \mathrm{~d} s \mathrm{~d} t$ ，其中

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D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant x^2+y^2\right\} \text {, 又 } \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0 \text {. }
$$
（1）试求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式；（2）若 $f(0)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^4}$ ．