单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设平面区域 $D$ 由直线 $x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴所围成．记 $I_1=\iint_D(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D[\sin (x+y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D \ln (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则有
$\text{A.}$ $I_3>I_2>I_1$ ．
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$ ．
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$ ．
$\text{D.}$ $I_1>I_3>I_2$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2} \arctan \left(1+x^2+y^2\right), x^2+y^2 \neq 0, \\ \frac{\pi}{2}, \quad x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 若平面区域 $D: x^2+y^2 \leqslant a^2$ ，则 $\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\pi a^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$ ．
$\text{D.}$ 0 ．
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则必有
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 发散．
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)=\infty$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ．
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\cdots+\left|a_n\right|\right)=\infty$ ．
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$
$\text{A.}$ 条件收敛．
$\text{B.}$ 绝对收敛．
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 以上均有可能．
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=1$ ，则下列说法中正确的是
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散；
（3）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛；
（4）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散．
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ (2)(3) ．
$\text{C.}$ (3)(4) ．
$\text{D.}$ （1）（4）．
解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上连续且有界，又已知 $\int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$ 收敛，试证明方程 $y^{\prime}+y=f(x)$ 只有一个解在 $(-\infty, 0]$ 有界．
设 $\varphi(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数且 $\Phi^{\prime}(x)=\varphi(x), \Phi(0)=0, \Phi(2 \pi) \neq 0$ ．
（1）求解方程 $y^{\prime}+y \sin x=\varphi(x) \mathrm{e}^{\cos x}$ ；（2）以上方程是否存在以 $2 \pi$ 为周期的解．
设 $f(x)$ 二阶可导且 $f^{\prime}(x)=f(1-x)$ ，求 $f(x)$ ．
设 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}=f(x)$ 有一个特解 $\frac{1}{x}$ ，对应齐次方程有一个特解为 $x^2$ ，求该方程的通解．
设可导函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x \int_0^x[f(t)]^2 \mathrm{~d} t$ ，试求 $f(x)$ 的表达式．
设函数 $u=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), f$ 二阶可导，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D \frac{1}{1+s^2+t^2} \mathrm{~d} s \mathrm{~d} t$ ，其中
$$
D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant x^2+y^2\right\} \text {, 又 } \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0 \text {. }
$$
（1）试求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式；（2）若 $f(0)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^4}$ ．
设函数 $y(x)$ 满足方程
$$
y(x)=x^3-x \int_1^x \frac{y(t)}{t^2} \mathrm{~d} t+y^{\prime}(x), x>0
$$
且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x^3}=\frac{2}{3}$ ．求函数 $y(x)$ ．
设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 求 $f_{x y}^{\prime \prime}(0,0), f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)$ ．
设 $\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}=0$ ，试将该方程用 $\left\{\begin{array}{l}u=x^2-y^2 \\ v=2 x y\end{array}\right.$ 变形，使其成为关于 $u, v$ 的方程．
证明：对于任何正实数 $a, b, c$ ，恒有不等式 $a b c^3 \leqslant 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^5$ ．
设 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，且 $f(x, y)=1-x-y+o\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right)$ ．
若 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^2+y^2\right)$ ．试问 $(0,0)$ 是否为 $g(x, y)$ 的极值点，请说明理由．
设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续的偏导数，且满足 $f(0,0)=1, f_x^{\prime}(0,0)=2, f_y^{\prime}(0, y)=-3$ ，以及 $f_{x x}^{\prime \prime}(x, y)=y, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=x+y$ ，试求 $f(x, y)$ 的表达式．
交换积分次序 $I=\int_0^{2 a} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 a x-x^2}}^{\sqrt{2 a x}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
计算二重积分 $I=\iint_D x^2 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是以 $(0,0),(1,1),(0,1)$ 为顶点的三角形区域．
$I=\iint_D \max \{x, y\} \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ．
设有一匀质物体，在空间所占据的区域 $\Omega$ 由球面 $x^2+y^2+z^2=2 a z$ 与圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所围成，其中 $a>0$ ，求该物体的质心坐标
计算曲线积分 $I=\int_{\Gamma} \frac{(x+2)^2+(y-3)^2}{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ x+y=0 .\end{array}\right.$
一薄壳形状为 $x^2+y^2=2-2 z(z>0)$ ，其上任一点 $(x, y, z)$ 处的面密度 $\mu=\frac{3}{2}-z$ ，求其质量．
计算 $I=\iint_{\Sigma}(y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在柱体 $x^2+y^2 \leqslant 2 x$ 内的部分．
设椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 在点 $A\left(1, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ 的切线交 $y$ 轴于 $B$ ，设 $L$ 为从 $A$ 到 $B$ 的有向线段，试计算 $I=\int_L\left(\frac{\sin y}{x+1}-\sqrt{3} y\right) \mathrm{d} x+(\cos y \ln (1+x)+2 \sqrt{3} x-\sqrt{3}) \mathrm{d} y$ ．
已知 $\mathrm{d} u=\frac{a x+y}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x-\frac{x-y+b}{x^2+y^2} \mathrm{~d} y$ ，求（1）$a, b$ ；（2）$\oint_l \mathrm{~d} u$ ，其中 $l: x^2+y^2=1$且为逆时针方向．
求 $I=\oint_L\left(y^2+z^2\right) \mathrm{d} x+\left(x^2+z^2\right) \mathrm{d} y+\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 是半球面
$x^2+y^2+z^2=2 a x(z \geqslant 0)$ 与圆柱面 $x^2+y^2=2 b x(a>b>0)$ 的交线，其从 $z$ 轴正向看去为逆时针方向．
设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$ ，（1）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+2}}{n}$ 的值；（2）试证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛，其中 $\lambda$ 为正常数．
给定幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ，其中 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=2, n a_n=a_{n-1}+n-1, n=1,2, \cdots$ ，试求其和函数 $S(x)$ ，其中 $x \in(-1,1)$ ．
给定幂级数 $2+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ ，求（1）收敛域；（2）和函数 $S(x)$ ．