设函数 $f(x)=\sin ^{2 k} x+\cos ^{2 k} x, k \in N^*$ ．
（1）求证：$f\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=f\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ ；
（2）分别求 $k=2$ 和 $k=3$ 时函数 $f(x)$ 的最小值；
（3）求函数 $f(x)$ 的最小值（用 $k$ 表示）．
参考公式：当 $n \in N^*$ 且 $n \geq 2$ 时，$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n^{-1}}+a^{n^{-2}} b+\ldots+a b^{n^{-2}}+b^{n^{-1}}\right)$ ．