设 $\mathbf{n}$ 阶方阵 $\mathbf{A}_{\mathbf{n}}=\left[\begin{array}{ccccc}\mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{1} & \mathbf{0}\end{array}\right]$ ．记 $\theta=\pi /(\mathbf{n + 1})$ ．
1）对 $1 \leq j \leq n$ ，证明 $\alpha_j=\left[\begin{array}{llll}\sin (j \theta) & \sin (2 j \theta) & \ldots & \sin (n j \theta)\end{array}\right]^T$ 是 $\mathbf{A}_{\mathbf{n}}$ 的特征向量；

2）对 $\boldsymbol{a} \in \mathbf{R}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{a} \mathbf{I}+\mathbf{A}_{\mathbf{n}}$ 的行列式．