设 $\mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 是 $\mathbf{n}$ 阶矩阵，其中 $\mathbf{D}$ 可逆，则 $\left[\begin{array}{cc}\mathbf{B ~ D}^{-1} \mathbf{C} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D}\end{array}\right]$ 的秩=

当 ________ 时，二次型 $\mathbf{f}=5 t x^2+t y^2-z^2+2 t x y+2 x z$ 负定；当 ________ 时，二次型 $\mathbf{f}$ 的正、负惯性指数分别是 ________ 与 ________

已知 $\mathbf{A}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right]$ 是行列式为 $\mathbf{1}$ 的正交矩阵，则线性变换 $\mathbf{X} \mapsto \mathbf{A X}$ 是绕单位向量 $\alpha=$ $\_\_\_\_$的旋转，旋转角为 $\_\_\_\_$

在欧氏空间 $R^4$ 中，子空间 $\left\langle(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T\right\rangle$ 到 $\left\{\begin{array}{cl}x_1+x_2 & =2 \\ x_3 & =1\end{array}\right.$的解集合的最小距离是

设 $\mathrm{f}\left(x_1, x_2, x_3\right)=8 x_1^2-7 x_2^2+8 x_3^2+8 x_1 x_2-2 x_1 x_3+8 x_2 x_3$ ．
（1）将 $\mathbf{f}$ 写成 $\mathbf{X}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{X}$ 的形式，并求 $\mathbf{A}$ 的特征值与特征向量；
（2）求正交矩阵 $\mathbf{P}$ 及对角矩阵 D ，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{P D P}^{\mathbf{T}}$ ．

设 $\boldsymbol{\beta}$ 是欧氏空间 $\mathbf{R}^{\mathbf{n}}$ 的单位向量， $\mathbf{V}$ 是子空间 $\langle\boldsymbol{\beta}\rangle$ 的正交补．
（1）求矩阵 $\mathbf{A}$ ，使得对任意列向量 $\mathbf{X} \in \mathbf{R}^{\mathbf{n}}, \mathbf{A X}$ 是 $\mathbf{X}$ 向 $\mathbf{V}$ 所作的正交投影；
（2）求正交矩阵 $\mathbf{B}$ ，使得线性变换 $\mathbf{X} \mapsto \mathbf{B} \mathbf{X}$ 是 $\mathbf{R}^{\mathbf{n}}$ 关于 $\mathbf{V}$ 的镜面反射．

设 $\mathrm{F}_4=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i\end{array}\right], \mathrm{F}_2=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right], \mathrm{D}_2=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & i\end{array}\right]$ ．
1）求矩阵 $\mathbf{C}$ ，使得 $\left[\begin{array}{cc}\mathbf{I}_2 & \mathbf{D}_2 \\ \mathbf{I}_2 & -\mathbf{D}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathbf{F}_2 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{F}_2\end{array}\right] \mathbf{C}=\mathrm{F}_4$ ；
2）求 $\mathrm{F}_4$ 的逆矩阵．

设 $\mathbf{n}$ 阶方阵 $\mathbf{A}_{\mathbf{n}}=\left[\begin{array}{ccccc}\mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{1} & \mathbf{0}\end{array}\right]$ ．记 $\theta=\pi /(\mathbf{n + 1})$ ．
1）对 $1 \leq j \leq n$ ，证明 $\alpha_j=\left[\begin{array}{llll}\sin (j \theta) & \sin (2 j \theta) & \ldots & \sin (n j \theta)\end{array}\right]^T$ 是 $\mathbf{A}_{\mathbf{n}}$ 的特征向量；

2）对 $\boldsymbol{a} \in \mathbf{R}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{a} \mathbf{I}+\mathbf{A}_{\mathbf{n}}$ 的行列式．

设 $\mathbf{A}: \mathbf{X}]_{\mapsto} \mathbf{A X}$ 是 $\mathbf{R}^4$ 到 $\mathbf{R}^3$ 的线性映射，其中 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}\mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1}\end{array}\right]$ ．
1）求 $\mathbf{A}$ 的秩 $\mathbf{r}$ 及可逆矩阵 $\mathbf{P}, \mathbf{Q}$ ，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\left[\begin{array}{ll}\mathbf{I}_{\mathbf{r}} & \\ & \mathbf{0}\end{array}\right] \mathbf{Q}$ ，这里 $\mathbf{I}_{\mathbf{r}}$ 是 $\mathbf{r}$ 阶单位矩阵。

2）求 $\mathbf{R}^4$ 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 与 $\mathbf{R}^3$ 的一组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ ，使得 $A \alpha_i=\beta_i, \forall 1 \leq i \leq r$ 且 $A \alpha_i=0, \forall i>r$ ．

判断对错，对的给出证明，错的给出反例
若 A 是实对称矩阵， B 是实反对称矩阵，则 $\mathrm{A}+\mathrm{iB}$ 的特征多项式在复数域上的根都是实数．

判断对错，对的给出证明，错的给出反例
在数域 $\mathbf{K}$ 上，若 $\mathbf{n}$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 有 $\mathbf{n}+\mathbf{1}$ 个特征向量，且其中任意 $\mathbf{n}$ 个都线性无关，则 $\mathbf{A}$ 一定是数量矩阵。