设 $\mathbf{A}: \mathbf{X}]_{\mapsto} \mathbf{A X}$ 是 $\mathbf{R}^4$ 到 $\mathbf{R}^3$ 的线性映射，其中 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}\mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1}\end{array}\right]$ ．
1）求 $\mathbf{A}$ 的秩 $\mathbf{r}$ 及可逆矩阵 $\mathbf{P}, \mathbf{Q}$ ，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\left[\begin{array}{ll}\mathbf{I}_{\mathbf{r}} & \\ & \mathbf{0}\end{array}\right] \mathbf{Q}$ ，这里 $\mathbf{I}_{\mathbf{r}}$ 是 $\mathbf{r}$ 阶单位矩阵。

2）求 $\mathbf{R}^4$ 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 与 $\mathbf{R}^3$ 的一组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ ，使得 $A \alpha_i=\beta_i, \forall 1 \leq i \leq r$ 且 $A \alpha_i=0, \forall i>r$ ．