设 2 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的互异特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 分别为属于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的单位特征向量．
（1）求矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}$ 的特征值；
（2）求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵；
（3）若 $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}$ ．