单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列 3 个无穷小量：$\alpha=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}, \beta=\int_0^{x^2}\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, \gamma= \sqrt{1-x^4}-\sqrt[3]{1+3 x^4}$ ，按后一个无穷小量比前一个高阶的次序排列，正确的次序是（）．
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$ ．
$\text{B.}$ $\gamma, \beta, \alpha$ ．
$\text{C.}$ $\gamma, \alpha, \beta$ ．
$\text{D.}$ $\alpha, \gamma, \beta$ ．
设函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，$f^{\prime \prime}(0) \neq 0, f^{\prime}(0)=0$ ， $f(0)=0$ ，则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的 $\quad$ 。
$\text{A.}$ 第一类间断点．
$\text{B.}$ 连续点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点或间断点，不能由此确定．
设函数 $f(x)$ 连续，则下列函数必为偶函数的是 () ．
$\text{A.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] \mathrm{d} t$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^x f^2(t) \mathrm{d} t$ ．
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin (x y)}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 点处 () ．
$\text{A.}$ 连续，且 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{B.}$ 连续，但 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
$\text{C.}$ 不连续，但 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{D.}$ 不连续，且 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
设 $\boldsymbol{\xi}$ 是 $n$ 维非零实列向量，则关于矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\xi} \boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}}$ ，正确的说法有（ ）个．
（1） $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵。
（2） $\boldsymbol{A}$ 是对合矩阵（即 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ ）的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=2$ 。
（3） $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=2$ 。
（4） $\boldsymbol{A}$ 是幂等矩阵（即 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ ）的充要条件是 $\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}=1$ 。
（5） $\boldsymbol{A}$ 是正定矩阵的充要条件是 $0 < \boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi} < 1$ ．
$\text{A.}$ 2 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ 4.
$\text{D.}$ 5 ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 是 2 阶实矩阵，则下列不是 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化的充分条件的是
$\text{A.}$ $a d-b c < 0$ ．
$\text{B.}$ $b, c$ 同号。
$\text{C.}$ $b, c$ 相等．
$\text{D.}$ $b, c$ 异号．
设 3 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是正交的单位向量， $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，则二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为（ ）。
$\text{A.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
设相互独立的两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从指数分布 $E(1)$ ，则 $P\{1 < \min \{X, Y\} < 2\}$ 的值为（）。
$\text{A.}$ $e^{-1}-e^{-2}$ ．
$\text{B.}$ $1-\mathrm{e}^{-1}$ ．
$\text{C.}$ $1-\mathrm{e}^{-2}$ ．
$\text{D.}$ $e^{-2}-e^{-4}$ ．
设随机变量 $X_1$ 的分布函数为 $F_1(x)$ ，概率密度为 $f_1(x)$ ，且 $E\left(X_1\right)=1$ ，随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.4 F_1(x)+0.6 F_1(2 x+1)$ ，则 $E(X)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ 0.6 ．
$\text{B.}$ 0.5 ．
$\text{C.}$ 0.4 ．
$\text{D.}$ 1 ．
．设二维随机变量 $(X, Y) \sim N\left(0,0 ; \sigma^2, \sigma^2 ; 0\right)$ ，则 $P\{X < 2 Y\}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\Phi(2)$ ．
$\text{B.}$ $\Phi(1)$ ．
$\text{C.}$ $\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $a \neq \frac{1}{2}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left[\frac{n-2 n a+1}{n(1-2 a)}\right]^n=$
设某产品的需求函数为 $q=\frac{1}{\mathrm{e}}(d-p), q$ 为需求量（即产量），$p$ 为单价，$d$ 为正的常数，则需求对价格的弹性为 $\_\_\_\_$ ．
设 $x>0$ 时，可微函数 $f(x)$ 及其反函数 $g(x)$ 满足 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}-8\right)$ ，则 $f(x)=$
计算不定积分 $\int \frac{\tan x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ （其中 $a b \neq 0$ ）。
设 4 维非零列向量 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 与列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 分别正交，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=P(B C)=0$ ， $P(A C)=\frac{1}{8}$ ，则 $A, B, C$ 全不发生的概率为 $\_\_\_\_$ ．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}$ ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导，当 $0 \leqslant x < 1$ 时，恒有 $0 < f(1) < f(x)$ ，且 $f^{\prime}(x) \neq f(x)$ ．证明：在 $(0,1)$ 内存在唯一的点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=\int_0^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．
求 $f(x, y)=x+x y-x^2-y^2$ 在闭区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 上的最大值和最小值．
计算 $I=\iint_D\left|y-x^2\right| \max \{x, y\} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
设 2 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的互异特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 分别为属于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的单位特征向量．
（1）求矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}$ 的特征值；
（2）求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵；
（3）若 $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}$ ．
已知总体 $X$ 的分布函数为
$$
F(x ; \theta)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{20}}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 为末知参数，设 $X_1, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的简单随机样本．
（1）求 $X$ 的概率密度；
（2）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ；
（3）求 $E(\hat{\theta})$ 。