设 3 维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 在基

$$
\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,2,-1)^{\mathrm{T}}
$$


下的矩阵是

$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 3 \\
0 & -2 & -1 \\
1 & -1 & -4
\end{array}\right),
$$


向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(0,1,-2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标是 $(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\alpha})$在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．设 3 维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 在基

$$
\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,2,-1)^{\mathrm{T}}
$$


下的矩阵是

$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 3 \\
0 & -2 & -1 \\
1 & -1 & -4
\end{array}\right),
$$


向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(0,1,-2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标是 $(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\alpha})$在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．