解答题 （共 28 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 3 维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 在基
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,2,-1)^{\mathrm{T}}
$$
下的矩阵是
$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 3 \\
0 & -2 & -1 \\
1 & -1 & -4
\end{array}\right),
$$
向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(0,1,-2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标是 $(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\alpha})$在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．设 3 维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 在基
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,2,-1)^{\mathrm{T}}
$$
下的矩阵是
$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 3 \\
0 & -2 & -1 \\
1 & -1 & -4
\end{array}\right),
$$
向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(0,1,-2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标是 $(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\alpha})$在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．
（武汉大学，2006 年）设 $P[x]_2$ 表示实数域上的次数不超过 2 的多项式构成的线性空间，已知 $f_1=1-x, f_2=1+x^2, f_3=x+2 x^2$ 是 $P[x]_2$ 的一个基，$P[x]_2$ 的线性变换 $\sigma$ 满足
$$
\sigma\left(f_1\right)=2+x^2, \quad \sigma\left(f_1\right)=x, \quad \sigma\left(f_1\right)=1+x+x^2 .
$$
（1）求由基 $1, x, x^2$ 到基 $f_1, f_2, f_3$ 的过渡矩阵；
（2）求 $\sigma$ 在基 $f_1, f_2, f_3$ 下的矩阵；
（3）设 $f=1+2 x+3 x^2$ ，求 $\sigma(f)$ ．
（南京航空航天大学，2003 年）已知 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 对于基
$$
\boldsymbol{\varepsilon}_1=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_2=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_3=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}
$$
的像为 $\sigma\left(\varepsilon_1\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \sigma\left(\varepsilon_2\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \sigma\left(\varepsilon_3\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵；
（2）设 $x=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\sigma(x)$ ；
（3）已知 $\sigma(x)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的坐标向量为 $(2,-4,-2)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{x}$ ；
（4）证明：$\varepsilon_1, \varepsilon_1+\varepsilon_2, \varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的基，并求 $\sigma$ 在该基下的矩阵．
设 $\sigma$ 是有理数域 $Q$ 上的 $m$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，且满足
$$
\sigma^4+2 \sigma^3-4 \sigma+6 \varepsilon=0
$$
其中 $\varepsilon$ 表示 $V$ 的恒同变换．考虑 $\operatorname{End}_{\mathbb{Q}}(V)$ 的子空间 $W=\{f(\sigma) \mid f(x) \in \mathbb{Q}[x]\}$ ，定义 $W$ 的线性变换 $\tau$ 如下：若 $f(\sigma)=a_n \sigma^n+a_{n-1} \sigma^{n-1}+\cdots+a_1 \sigma+a_0 \varepsilon$ ，其中 $a_i \in \mathbb{Q}(i=0,1, \cdots, n)$ ，则
$$
\tau(f(\sigma))=a_0 \sigma^n+a_1 \sigma^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \sigma+a_n \varepsilon .
$$
（1）证明：$\varepsilon, \sigma, \sigma^2, \sigma^3$ 是 $W$ 中的一个线性无关组；
（2）求 $W$ 的维数 $\operatorname{dim} W$ ；
（3）求 $\tau$ 在 $W$ 的一个基下的矩阵．
（北京科技大学，2004 年）设 $\sigma, \tau$ 都是幂等 $\left(\sigma^2=\sigma, \tau^2=\tau\right)$ 的线性变换．证明：
（1）如果 $\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\tau} \boldsymbol{\sigma}$ ，那么 $\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{+} \boldsymbol{\tau}-\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\tau}$ 也是幂等变换；
（2）如果 $\sigma+\tau$ 是幂等变换，那么 $\sigma \tau=0$ ．
（哈尔滨工业大学，2005 年）设 $V$ 是线性空间 $\mathbb{R}^n$ 的一个真子空间．问下列结论是否正确？为什么？
（1）存在 $\mathbb{R}^n$ 的一个线性变换 $\sigma$ ，使得 $\sigma$ 的值域等于 $V$ ，即 $\sigma\left(\mathbb{R}^n\right)=V$ ；
（2）存在 $\mathbb{R}^n$ 的一个线性变换 $\tau$ ，使得 $\tau$ 的核等于 $V$ ，即 $\operatorname{ker} \tau=V$ ．
设 $\sigma, \tau$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\sigma \tau=\tau \sigma$ ，问维数不等式
$$
\operatorname{dim}\left(\sigma^2(V)\right)+\operatorname{dim}\left(\tau^2(V)\right) \geqslant 2 \operatorname{dim}(\sigma \tau(V))
$$
是否成立？请证明或反证你的结论．
（浙江大学，2016 年；厦门大学，2011 年）设 $V_1, V_2$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个子空间， $\operatorname{dim} V_1+\operatorname{dim} V_2=n$ ．证明：存在 $V$ 的线性变换 $\varphi$ ，使得 $\varphi$ 的像 $\operatorname{Im} \varphi=V_1$ ，核 $\operatorname{ker} \varphi=V_2$ ．
（华中科技大学，2004 年；北京邮电大学，2003 年）设 $\sigma, \tau$ 是线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\sigma^2=\sigma, \tau^2=\tau$ ．证明： $\operatorname{ker} \sigma=\operatorname{ker} \tau$ 当且仅当 $\sigma \tau=\sigma, \tau \sigma=\tau$ ，其中 $\operatorname{ker} \sigma$ 为 $\sigma$ 的核．
（厦门大学，2018年）设 $\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_m$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，满足 $\varphi_i^2=\varphi_i(1 \leqslant i \leqslant m)$ ，且 $\varphi_i \varphi_j=0(i \neq j, 1 \leqslant i, j \leqslant m)$ ．证明：
$$
V=\operatorname{Im} \varphi_1 \oplus \operatorname{Im} \varphi_2 \oplus \cdots \oplus \operatorname{Im} \varphi_m \oplus \bigcap_{i=1}^m \operatorname{ker} \varphi_i .
$$
（浙江大学，2006 年）设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{P}$ ，求
$\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ 的特征值与特征向量，其中 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵。
（华东师范大学，2001年）已知 $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 都是非零的 3 阶方阵，且 $\boldsymbol{A}_i^2= \boldsymbol{A}_i(i=1,2,3), \boldsymbol{A}_i \boldsymbol{A}_j=O(i \neq j)$ ．证明：
（1） $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 都有且仅有特征值 1 和 0 ；
（2） $\boldsymbol{A}_i$ 的属于特征值 1 的特征向量是 $\boldsymbol{A}_j$ 的属于特征值 0 的特征向量 $(i \neq j)$ ；
（3）若 $\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3$ 分别是 $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3$ 线性无关．
（北京大学，1998年；华南理工大学，2011年）用 $J$ 表示元素全为 1 的 $n$ 阶方阵 $(n \geqslant 2), f(x)=a+b x \in \mathbb{Q}[x]$ ，令 $\boldsymbol{A}=f(\boldsymbol{J})$ ．
（1）求 $\boldsymbol{J}$ 的全部特征值和全部特征向量；
（2）求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征子空间；
（3）问 $\boldsymbol{A}$ 是否可以对角化？如可对角化，则求出一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P} \in M_n(\mathbb{Q})$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$为对角矩阵，并写出这个对角矩阵．
（武汉大学，2010 年）设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的两个解．
（1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；
（2）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A Q}=\boldsymbol{D}$ ；
（3）求行列式 $\left|\left(\frac{2}{3} \boldsymbol{B}^2\right)^{-1}+\frac{4}{9} \boldsymbol{B}^*+\boldsymbol{B}\right|$ ，其中 $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}-\frac{3}{2} \boldsymbol{E}$ 的相似矩阵， $\boldsymbol{B}^*$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵。
（南开大学，2008 年；IMC 试题，2017 年）设 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{P}$ 满足 $\boldsymbol{P}^T=\boldsymbol{P}^2$ ，试求出 $\boldsymbol{P}$ 的所有可能的特征值．
设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，$\lambda_1, \lambda_2 \in K$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值， $\boldsymbol{\xi}_1$ ， $\boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_r$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_1$ 的线性无关特征向量， $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_s$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_2$ 的线性无关特征向量．任取 $K$ 中不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_r$ 和不全为零的数 $l_1, l_2, \cdots, l_r$ ，令 $\boldsymbol{\gamma}=k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_1 \boldsymbol{\xi}_2+\cdots+ k_r \boldsymbol{\xi}_r+l_1 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+l_s \boldsymbol{\eta}_s$ ．
（1）证明： $\boldsymbol{\gamma} \neq \mathbf{0}$ ；
（2）问 $\boldsymbol{\gamma}$ 是否为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量？请阐述理由．
（南开大学，2006 年）设 $\mathcal{A}$ 为数域 $P$ 上 $n(n \geqslant 3)$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换， $\mathscr{A}$ 的特征多项式为
$$
f(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+a_{n-2} \lambda^{n-2}+\cdots+a_1 \lambda_1+a_0 .
$$
试证明：$a_{n-2}=\frac{1}{2}\left((\operatorname{tr} \mathscr{A})^2-\operatorname{tr} \mathscr{A}^2\right)$ ，其中 $\operatorname{tr}$ 表示线性变换的迹．
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和都为常数 $a$ ，求证：
（1） $\boldsymbol{a}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值；
（2）对于任意正整数 $m, \boldsymbol{A}^m$ 的每行元素之和都为 $a^m$ ；
（3）如果 $\boldsymbol{A}$ 可逆，那么 $a \neq 0$ ，且 $\frac{1}{a}$ 是 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的一个特征值．
（兰州大学，2009 年）已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ ．问 $a, b$ 取何值时 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似？并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．
设 $A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，且存在 $n$ 阶复方阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{B Q}$ ．证明：必存在 $n$ 阶可逆实方阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}$ ．
（南京大学，2002 年）设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3$ ，对应的特征向量依次为
$$
\xi_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
9
\end{array}\right),
$$
又设向量 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ．
（1）将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\xi}_3$ 线性表示；
（2）求 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\beta}$（ $n$ 为自然数）．
（南京大学，2014 年）设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ x & 4 & y \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right)$ 有 3 个线性无关的特征向量，且 $\lambda=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值．
（1）求 $x, y$ 的值；
（2）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵．
已知线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}_3, \boldsymbol{\eta}_4$ 下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 1 & -1 \\
1 & -2 & -2 & -1
\end{array}\right) .
$$
求 $\sigma$ 的包含向量 $\boldsymbol{\eta}_1$ 的最小不变子空间．
（武汉大学，1999 年；湘潭大学，2011 年）设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的可逆的线性变换，$V$ 的子空间 $W$ 是 $\varphi$－不变子空间，证明：$W$ 也是逆变换 $\varphi^{-1}$ 的不变子空间。
设 $\sigma_i(i \in I)$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组（有限或无限个）两两可交换的线性变换．证明：所有的 $\sigma_i(i \in I)$ 至少有一个公共的特征向量．
（厦门大学，2001 年）设 $\sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，已知 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值．证明：$V$ 中有且只有 $2^n$ 个 $\sigma$ 的不变子空间．
（安徽大学，2004 年）设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ ，证明：对任意正整数 $m$ ， $k$ 有
$$
\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^m+\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^k=n
$$
设 $V$ 是数域 $F$ 上的有限维线性空间，$V$ 上的线性变换 $\varphi$ 称为半单的，如果对 $V$ 的任意 $\varphi$－不变子空间 $U$ ，都存在 $V$ 的 $\varphi$－不变子空间 $W$ 满足 $V=U \oplus W$ ．设 $\varphi$ 是半单的，$f(\lambda) \in F[\lambda]$ ．证明：$f(\varphi)$ 是幂零变换当且仅当 $f(\varphi)=0$ ．