（华东师范大学，2001年）已知 $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 都是非零的 3 阶方阵，且 $\boldsymbol{A}_i^2= \boldsymbol{A}_i(i=1,2,3), \boldsymbol{A}_i \boldsymbol{A}_j=O(i \neq j)$ ．证明：
（1） $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 都有且仅有特征值 1 和 0 ；
（2） $\boldsymbol{A}_i$ 的属于特征值 1 的特征向量是 $\boldsymbol{A}_j$ 的属于特征值 0 的特征向量 $(i \neq j)$ ；
（3）若 $\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3$ 分别是 $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3$ 线性无关．