（南开大学，2006 年）设 $\mathcal{A}$ 为数域 $P$ 上 $n(n \geqslant 3)$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换， $\mathscr{A}$ 的特征多项式为

$$
f(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+a_{n-2} \lambda^{n-2}+\cdots+a_1 \lambda_1+a_0 .
$$


试证明：$a_{n-2}=\frac{1}{2}\left((\operatorname{tr} \mathscr{A})^2-\operatorname{tr} \mathscr{A}^2\right)$ ，其中 $\operatorname{tr}$ 表示线性变换的迹．