（南京大学，2002 年）设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3$ ，对应的特征向量依次为

$$
\xi_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
4
\end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
9
\end{array}\right),
$$


又设向量 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ．
（1）将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\xi}_3$ 线性表示；
（2）求 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\beta}$（ $n$ 为自然数）．