（武汉大学，2006 年）设 $P[x]_2$ 表示实数域上的次数不超过 2 的多项式构成的线性空间，已知 $f_1=1-x, f_2=1+x^2, f_3=x+2 x^2$ 是 $P[x]_2$ 的一个基，$P[x]_2$ 的线性变换 $\sigma$ 满足

$$
\sigma\left(f_1\right)=2+x^2, \quad \sigma\left(f_1\right)=x, \quad \sigma\left(f_1\right)=1+x+x^2 .
$$

（1）求由基 $1, x, x^2$ 到基 $f_1, f_2, f_3$ 的过渡矩阵；
（2）求 $\sigma$ 在基 $f_1, f_2, f_3$ 下的矩阵；
（3）设 $f=1+2 x+3 x^2$ ，求 $\sigma(f)$ ．