（南京航空航天大学，2003 年）已知 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 对于基

$$
\boldsymbol{\varepsilon}_1=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_2=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_3=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}
$$


的像为 $\sigma\left(\varepsilon_1\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \sigma\left(\varepsilon_2\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \sigma\left(\varepsilon_3\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵；
（2）设 $x=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\sigma(x)$ ；
（3）已知 $\sigma(x)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的坐标向量为 $(2,-4,-2)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{x}$ ；
（4）证明：$\varepsilon_1, \varepsilon_1+\varepsilon_2, \varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的基，并求 $\sigma$ 在该基下的矩阵．