（武汉大学，2010 年）设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的两个解．
（1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；
（2）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A Q}=\boldsymbol{D}$ ；
（3）求行列式 $\left|\left(\frac{2}{3} \boldsymbol{B}^2\right)^{-1}+\frac{4}{9} \boldsymbol{B}^*+\boldsymbol{B}\right|$ ，其中 $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}-\frac{3}{2} \boldsymbol{E}$ 的相似矩阵， $\boldsymbol{B}^*$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵。