设 $\sigma$ 是有理数域 $Q$ 上的 $m$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，且满足

$$
\sigma^4+2 \sigma^3-4 \sigma+6 \varepsilon=0
$$


其中 $\varepsilon$ 表示 $V$ 的恒同变换．考虑 $\operatorname{End}_{\mathbb{Q}}(V)$ 的子空间 $W=\{f(\sigma) \mid f(x) \in \mathbb{Q}[x]\}$ ，定义 $W$ 的线性变换 $\tau$ 如下：若 $f(\sigma)=a_n \sigma^n+a_{n-1} \sigma^{n-1}+\cdots+a_1 \sigma+a_0 \varepsilon$ ，其中 $a_i \in \mathbb{Q}(i=0,1, \cdots, n)$ ，则

$$
\tau(f(\sigma))=a_0 \sigma^n+a_1 \sigma^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \sigma+a_n \varepsilon .
$$

（1）证明：$\varepsilon, \sigma, \sigma^2, \sigma^3$ 是 $W$ 中的一个线性无关组；
（2）求 $W$ 的维数 $\operatorname{dim} W$ ；
（3）求 $\tau$ 在 $W$ 的一个基下的矩阵．