设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导且满足以下三个条件：
（i） $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b g(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（ii）$f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)>0, x \in[a, b]$ ；
（iii）$g(x)$ 在 $(a, b)$ 上有唯一零点 $\xi$ ．
证明：（1） $\int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x=-\int_a^b g(x)\left(\int_a^x f(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x>0$ ．