填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=x-\ln (1+x)-\frac{1}{2} x \sin x, g(x)=a x^3$ ，且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ ，则 $a=$
设平面过原点与点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+2 z-8=0$ 垂直，则此平面方程为
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin ^2 x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\left(\sqrt[3]{1+x^3}-1\right) \sin x}=$
设函数 $f(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，$f(2,0)=3, f_u^{\prime}(2,0)=5$ ，又设 $z= z(x, y)$ 是由方程 $x z=f(2 x-y, x y z)$ 确定的隐函数，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$
设曲线 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 与平面 $x+y+z=3$ 的交线，则曲线积分$\int_L\left(x^2+2 x y\right) \mathrm{d} s=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，在 $x=0$ 处可导，且满足 $f(x)=x^3+x^2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}-x \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．求函数 $f(x)$ 的表达式．
求微分方程 $y^{\prime} x \ln x \sin y+(1- x \cos y) \cos y=0$ 的通解．
设 $\Omega$ 是由平面 $\Pi_1: x=0, \Pi_2: x=y, \Pi_3: y=z, \Pi_4: z=1, \Pi_5: z=2$ 围成的空间区域，求三重积分 $\iiint_{\Omega} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{\sqrt{y^2+z^2}}$ ．
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，其中 $a_n=\sin ^2 x \sin ^2 2 x \ldots \sin ^2 2^n x, x \in(-\infty,+\infty)$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导且满足以下三个条件：
（i） $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b g(x) \mathrm{d} x=0$ ；
（ii）$f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)>0, x \in[a, b]$ ；
（iii）$g(x)$ 在 $(a, b)$ 上有唯一零点 $\xi$ ．
证明：（1） $\int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x=-\int_a^b g(x)\left(\int_a^x f(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\int_a^b f(x)\left(\int_a^x g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} x>0$ ．