设 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 0, \cdots, 0, a)^{\prime}$ 是一个 $n$ 元列向量 $(a < 0)$ 。令 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\prime}$ 且 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}+\frac{1}{a} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\prime}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵。求 $a$ 的值，使得 $\boldsymbol{A}$ 是 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩阵