解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 5 & 4\end{array}\right|$ ．
（1）求 $A_{12}-A_{22}+A_{32}-A_{42}$ ；
（2）求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ ，这里 $A_{i j}$ 是 $|\boldsymbol{A}|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式
设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是两个相似的 4 阶方阵，并设 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 ${ }^{+}$为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ．求 $\left|\boldsymbol{B}^{-1}-\boldsymbol{E}\right|$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ ．求 $\boldsymbol{A}^{-1}$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right)$ ．令 $\boldsymbol{B}$ 是一个 3 阶非零矩阵，使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ．求 $t$ 的值。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 1,1)^{\prime}$ ，并设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关．求 $a$ 的值。
设 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 0, \cdots, 0, a)^{\prime}$ 是一个 $n$ 元列向量 $(a < 0)$ 。令 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\prime}$ 且 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}+\frac{1}{a} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\prime}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵。求 $a$ 的值，使得 $\boldsymbol{A}$ 是 $\boldsymbol{B}$ 的逆矩阵
当 $a$ 与 $b$ 为何值时，数域 $\boldsymbol{F}$ 上的齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a x_1+b x_2+\cdots+b x_n=0 \\
b x_1+a x_2+\cdots+b x_n=0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
b x_1+b x_2+\cdots+a x_n=0
\end{array}\right.
$$
有唯一解？有无穷多解？对于有无穷多解的情形，求出它的通解．这里 $a \neq 0, b \neq 0$ 且 $n \geqslant 2$ ．
（1）设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶实对称矩阵 ，并设 $\boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 且 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=2$ ．求行列式 $|\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}|$ 的值，其中 $k \in \mathbb{R}, \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵；
（2）设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶实对称矩阵，并设 $\boldsymbol{A}^3-\boldsymbol{A}-6 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ．求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．
设 $q\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+x_2^2-2 x_3^2+2 b x_1 x_3(b>0)$ 是一个 3 元实二次型，并设这个二次型的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值，其和等于 1 ，其积等于 -12 。（1）求 $a$ 与 $b$ 的
值；（2）用正交线性替换把这个二次型化成标准形，并写出相应的正交矩阵。
设 $\boldsymbol{V}$ 是由全体 2 阶实对称矩阵关于矩阵的加法和数乘运算组成的线性空间．令 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，并令 $\sigma(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{P}^{\prime} \boldsymbol{X} \boldsymbol{P}, \forall \boldsymbol{X} \in \boldsymbol{V}$ 。
（1）证明 $\sigma$ 是 $\boldsymbol{V}$ 上一个线性变换； （2）求 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{A}_1=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{A}_2=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{A}_3=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。