设 $\boldsymbol{V}$ 是由全体 2 阶实对称矩阵关于矩阵的加法和数乘运算组成的线性空间．令 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，并令 $\sigma(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{P}^{\prime} \boldsymbol{X} \boldsymbol{P}, \forall \boldsymbol{X} \in \boldsymbol{V}$ 。
（1）证明 $\sigma$ 是 $\boldsymbol{V}$ 上一个线性变换； （2）求 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{A}_1=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{A}_2=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{A}_3=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。