给定数域 $\boldsymbol{F}$ 上一个线性方程组如下：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\
x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\
x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\
x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3
\end{array}\right.
$$

（1）证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则上述方程组无解；（2）设 $a_1=a_3=k$ 且 $a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ 。此时 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,1,1)^{\prime}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_2=(1,1,-1)^{\prime}$ 是该方程组的两个解．试求出方程组的通解．