解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=a \neq 0$ ，并设 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 。求 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|$ 。
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha} \\ 2 \boldsymbol{\gamma}_2 \\ 3 \boldsymbol{\gamma}_3\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\beta} \\ \boldsymbol{\gamma}_2 \\ \boldsymbol{\gamma}_3\end{array}\right)$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3$ 都是 3 元行向量，并设 $|\boldsymbol{A}|=18$ 且 $|\boldsymbol{B}|=2$ ．求 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶方阵，并设 $|\boldsymbol{A}|=2$ ．求 $\left|4 \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^*\right|$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $4 \times 3$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=2$ 。令 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right)$ 。求 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A B})$ 。
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵。令 $\boldsymbol{B}$ 是交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行所得的矩阵。求 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}$
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶非零实矩阵 $(n>2)$ ，使得 $a_{i j}=A_{i j}$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的元素 $a_{i j}$ 的代数余子式 ${ }^{+}(i, j=1,2, \cdots, n)$ ．求行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值．
给定数域 $\boldsymbol{F}$ 上一个线性方程组如下：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\
x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\
x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\
x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3
\end{array}\right.
$$
（1）证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则上述方程组无解；（2）设 $a_1=a_3=k$ 且 $a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ 。此时 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,1,1)^{\prime}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_2=(1,1,-1)^{\prime}$ 是该方程组的两个解．试求出方程组的通解．
设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\prime}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 一个特征向量．试确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 所属的特征值．
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶方阵，并设 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,-1,2$ 。令 $\boldsymbol{B}=2 \boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}$ 。
（1）求 $\boldsymbol{B}$ 的特征值，并求出与 $\boldsymbol{B}$ 相似的矩阵；
（2）求 $|\boldsymbol{B}|$ ；
（3）求 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$ ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ ．令 $C(\boldsymbol{A})=\left\{\boldsymbol{X} \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R}) \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}\right\}$ ．
（1）证明 $C(\boldsymbol{A})$ 是 $\boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ 的一个子空间；（2）求 $C(\boldsymbol{A})$ 中元素 $\boldsymbol{X}$ 的一般形式；
（3）求 $C(\boldsymbol{A})$ 的维数及一个基．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ ．对任意的 $\boldsymbol{X} \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ ，定义 $\sigma(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}$
（1）证明：$\sigma$ 是 $\boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ 上的一个线性变换 ；（2）求 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{E}_{11}, \boldsymbol{E}_{12}, \boldsymbol{E}_{21}, \boldsymbol{E}_{22}$ 下的矩阵，这里
$$
\boldsymbol{E}_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
$$
已知 3 元实二次型 $q\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)$ 在某个正交线性替换下所得的标准形为 $y_1+2 y_2+5 y_3$ ．求参数 $a$ 及所作的线性替换．
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶实矩阵．证明：对于内积 $\langle\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\rangle=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}^{\prime}\left(\forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n\right), \mathbb{R}^n$ 构成一个欧氏空间的充要条件为 $\boldsymbol{A}$ 是一个正定矩阵。