设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ ．对任意的 $\boldsymbol{X} \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ ，定义 $\sigma(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}$
（1）证明：$\sigma$ 是 $\boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ 上的一个线性变换 ；（2）求 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{E}_{11}, \boldsymbol{E}_{12}, \boldsymbol{E}_{21}, \boldsymbol{E}_{22}$ 下的矩阵，这里

$$
\boldsymbol{E}_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
$$