设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶实矩阵．证明：对于内积 $\langle\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\rangle=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}^{\prime}\left(\forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n\right), \mathbb{R}^n$ 构成一个欧氏空间的充要条件为 $\boldsymbol{A}$ 是一个正定矩阵。