在直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C_1: x^2=4 y$ 与 $C_2: x^2=-8 y$ ，过点 $(0,2)$ 的直线与 $C_1$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $A O$ 和 $B O$ 分别与 $C_2$ 交于点 $D$ 和 $E$（异于原点 $\left.O\right)$ ．
（1）证明： $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 为定值；
（2）证明：$A B / / D E$ ；
（3）设 $P$ 为直线 $A E, B D$ 的交点，$Q(0,14)$ ，求 $|P Q|$ 的最小值．