单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
$(2+\mathrm{i})(4+\mathrm{i})$ 的实部为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
已知集合 $A, B$ 满足 $A=\{1,2,3\}, A \cap B=\{1,2\}, A \cup B=\{1,2,3,4,5\}$ ，则 $B=$
$\text{A.}$ $\{1,2,4,5\}$
$\text{B.}$ $\{4,5\}$
$\text{C.}$ $\{3,4,5\}$
$\text{D.}$ $\{1,2,3,4,5\}$
以椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则 $C$的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
若函数 $y=\sin (2 x+\varphi)$ 的图象的一条对称轴为直线 $x=\frac{11 \pi}{6}$ ，则 $\varphi$ 可以取
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \pi}{12}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，若 $f^{\prime}(x+1)=x^2-1$ ，则 $f(x)$ 的极大值点为
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
若圆 $C_1: x^2+y^2+12 x+16 y=0$ 和圆 $C_2:(x+3)^2+(y+12)^2=r^2(r>0)$ 内切，则它们的公切线的斜率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{4}{3}$
若 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{\sin 4 \theta}{\cos \theta-\sin \theta}=$
$\text{A.}$ $\frac{7 \sqrt{2}}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{7 \sqrt{2}}{32}$
$\text{C.}$ $-\frac{7 \sqrt{2}}{16}$
$\text{D.}$ $-\frac{7 \sqrt{2}}{32}$
设某地海拔（单位： m ）为 $h_1$ 处的大气压（单位： kPa ）为 $p_1$ ，海拔为 $h_2$ 处的大气压为 $p_2$ ，且满足 $\ln \frac{p_1}{p_2}=\frac{M g\left(h_2-h_1\right)}{R T}$ ，其中 $M, g, R$ 都是大于零的常数，$T$ 表示海拔 $h_1 \sim h_2$ 的平均气温（单位： K ），记该地海拔为 0 m 处的大气压为 $p_0$ ，下表列出了不同季节 $\ln p_0$ 的数据：
若某天该地海拔 $0 \sim 1000 \mathrm{~m}$ 的平均气温为 300 K ，海拔 $1000 \sim 2000 \mathrm{~m}$ 的平均气温为 285 K ，该地海拔 1000 m 处的大气压为 90 kPa ，海拔 2000 m 处的大气压为 80 kPa ，则这一天的季节为附： $\ln 2 \approx 0.7, \ln 3 \approx 1.1, \ln 5 \approx 1.6$ ．
$\text{A.}$ 春季
$\text{B.}$ 夏季
$\text{C.}$ 秋季
$\text{D.}$ 冬季
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
在平行四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{B E}=\frac{1}{4} \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{F C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{D C}$ ，记 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{m}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{n}$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $\overrightarrow{D E}=\frac{3}{4} n-\frac{3}{4} m$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{E C}=\frac{1}{4} m+\frac{3}{4} n$
$\text{C.}$ 若 $(\boldsymbol{m}+3 \boldsymbol{n}) \perp \boldsymbol{m}$ ，则 $\langle\overrightarrow{E C}, \overrightarrow{D F}\rangle=\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 若 $|\overrightarrow{C E}|=|\overrightarrow{E F}|$ ，则 $\langle\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n}\rangle=\frac{\pi}{2}$
已知样本数据 $5,6,5,8,5, x$ 的中位数与平均数相等，则
$\text{A.}$ $x=7$
$\text{B.}$ 这组样本数据的上四分位数为 6
$\text{C.}$ 这组样本数据的极差为 7
$\text{D.}$ 这组样本数据的方差为 13
已知函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x(x+a)}{x-1}$ ，其中 $a \in \mathbf{R}$ 且 $a \neq-1$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 有且仅有 1 个零点
$\text{B.}$ 存在 $a(a \neq-1)$ ，使得 $f(x)$ 在定义域内单调递增
$\text{C.}$ 若 $a>-1$ ，则 $f(x)>f^{\prime}(x)$
$\text{D.}$ 若 $a>0$ ，则 $|f(x)| \geqslant x$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\frac{a_1 a_2}{a_4 a_5}=4, a_3=1$ ，则 $a_6=$
在正四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A A_1=2$ ，且四棱锥 $C-B D D_1 B_1$ 的体积为 6 ，则 $A B=$
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $x+m y=0$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\angle A O F=\angle A F B$（ $O$ 为坐标原点），且 $\overrightarrow{O F} \cdot \overrightarrow{A B}=10 a^2$ ，则 $C$ 的离心率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
有 6 张卡片，上面分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$ ，从中每次随机抽取 1 张卡片，连续抽取两次，记抽到的卡片上的数字依次为 $m, n$ ．
（1）若有放回地抽取，记事件 $A$ 为＂$m+n=4$＂，求 $P(A)$ ；
（2）若无放回地抽取，记 $X=|m-n|$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，已知 $a_1=2$ ，且 $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{n \cdot 2^n}{S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
如图，$\triangle B C D$ 内接于圆柱的下底面圆，$B C$ 是圆柱下底面圆的直径，$A B$ 是圆柱的母线， $\angle C B D=\frac{\pi}{6}$ ，且 $A B=3, B C=4$ ．
（1）求点 $C$ 到平面 $A B D$ 的距离；
（2）$P$ 是圆柱上底面圆周上一点，若二面角 $P-C D-B$ 的大小为 $\frac{\pi}{3}$ ，求 $A P$ ．
在直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C_1: x^2=4 y$ 与 $C_2: x^2=-8 y$ ，过点 $(0,2)$ 的直线与 $C_1$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $A O$ 和 $B O$ 分别与 $C_2$ 交于点 $D$ 和 $E$（异于原点 $\left.O\right)$ ．
（1）证明： $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 为定值；
（2）证明：$A B / / D E$ ；
（3）设 $P$ 为直线 $A E, B D$ 的交点，$Q(0,14)$ ，求 $|P Q|$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-a \sin x$ ，其中 $a \geqslant 1$ ．
（1）若 $a=2$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2）证明：$f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 上存在唯一的极值点 $x_1$ 与唯一的零点 $x_2$ ；
（3）在（2）的条件下，证明： $\ln \left(1+x_2\right)>\frac{2 \sin x_1}{1+x_1}$ ．